72法则

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金融学上有所谓72法则71法则70法则69.3法则,用作估计将投资倍增或减半所需的时间,反映出的是复利的结果。

计算所需时间时,把与所应用的法则相应的数字,除以预料增长率即可。例如:

  • 假设最初投资金额为100元,复息年利率9%,利用“72法则”,将72除以9(增长率),得8,即需约8年时间,投资金额滚存至200元(两倍于100元),而准确需时为8.0432年。
  • 要估计货币的购买力减半所需时间,可把与所应用的法则相应的数字,除以通胀率。若通胀率为3.5%,应用“70法则”,每单位之货币的购买力减半的时间约为70/3.5=20年。

数值选择

使用72作为分子是因为它有较多因数,容易被整除。它的因数有1、2、3、4、6、8、9和12。不过,视乎增减率及时期,其他数值会较为合适。

一般息率或年期的复利

使用72作为分子足够计算一般息率(由6至10%),但对于较高的息率,准确度会降低。

低息率或逐日复利

对于低息率或逐日复利,69.3会提供较准确的结果(因为ln(2)约莫等于69.3%,参见下面“原理”)。对于少过6%的计算,使用69.3也会较为准确。

高息率计算的调整

对于高息率,较大的分子会较理想,如若要计算20%,以76除之得3.8,与实际数值相差0.002,但以72除之得3.6,与实际值相差0.2。若息率大过10%,使用72的误差介乎2.4%至−14.0%。若计算涉及较大息率(r),以作以下调整:

t = 72 + ( r 8 ) / 3 r {\displaystyle t={\frac {72+(r-8)/3}{r}}} (近似值)

若计算逐日复息,则可作以下调整:

t = 69.3147 + r / 3 r {\displaystyle t={\frac {69.3147+r/3}{r}}} (近似值)

E-M法则

E-M法则对使用69.3或70(但非72)时的计算作出修正,扩大计算的应用范围。如在69.3法则使用E-M修正,计算0-20%的增减率时也会相当准确,就算69.3本来只适合计算0-5%的息率。

E-M法则公式如下:

t = 69.3 r × 200 200 r {\displaystyle t={\frac {69.3}{r}}\times {\frac {200}{200-r}}} (近似值)

举个例,若利率为18%,69.3法则得出的将金额倍增的年期为3.85,但通过E-M法则,乘以200/(200-18),得4.23年,较接近实际年期4.19。

Padé近似式(Padé approximant)给出的结果更为准确,但算式则较为复杂:

t = 69.3 r × 600 + 4 r 600 + r {\displaystyle t={\frac {69.3}{r}}\times {\frac {600+4r}{600+r}}} (近似值)

比较

以下表格比较了以上提及各法则的计算结果:

年息实际年期72法则70法则69.3法则E-M法则
0.25%277.605288.000280.000277.200277.547
0.5%138.976144.000140.000138.600138.947
1%69.66172.00070.00069.30069.648
2%35.00336.00035.00034.65035.000
3%23.45024.00023.33323.10023.452
4%17.67318.00017.50017.32517.679
5%14.20714.40014.00013.86014.215
6%11.89612.00011.66711.55011.907
7%10.24510.28610.0009.90010.259
8%9.0069.0008.7508.6639.023
9%8.0438.0007.7787.7008.062
10%7.2737.2007.0006.9307.295
11%6.6426.5456.3646.3006.667
12%6.1166.0005.8335.7756.144
15%4.9594.8004.6674.6204.995
18%4.1884.0003.8893.8504.231

原理

定期复利

定期复利的将来值(FV)为:

F V = P V ( 1 + r ) t , {\displaystyle FV=PV\cdot (1+r)^{t},}

当中PV为现在值、t为期数、r为每一期的利率。

当该笔投资倍增,则FV = 2PV。代入上式后,可简化为:

2 = ( 1 + r ) t . {\displaystyle 2=(1+r)^{t}.\,}

解方程式,t为:

t = ln 2 ln ( 1 + r ) . {\displaystyle t={\frac {\ln 2}{\ln(1+r)}}.}

r数值较小,则ln(1+r)约等于r(这是泰勒级数的第一项);加上ln(2) ≈ 0.693147,于是:

t 0.693147 r . {\displaystyle t\approx {\frac {0.693147}{r}}.}

连续复利

连续复利的计算较为简单:

  2 = ( e r ) t {\displaystyle \ 2=(e^{r})^{t}}

可得

  t r = ln ( 2 ) {\displaystyle \ tr=\ln(2)}

可得

t = ln ( 2 ) r = 0.693147 r . {\displaystyle t={\frac {\ln(2)}{r}}={\frac {0.693147}{r}}.}

右项上下乘以100,然后以70作为69.3147的近似值:

t = 70 100 r {\displaystyle t={\frac {70}{100r}}}
原文链接: http://www.yqhhy.net/chh/7llk2.html